ヨッシーの日記

いろいろかきます

【解説】電通大口頭試問での力学の問題について

編入物理

以前の記事
yoshi12030.hatenablog.com
で紹介した力学の問題の解答例を作りましたので、自分への戒めとして公開しようと思います。

問題

上で紹介した記事にも問題は書いてありますが、もう一度載せておきます。

壁に固定されたばね定数kのばねとそれに繋がれた質量 $m$ の板で質量 $M$ の球を発射する。
（１）ばねを自然長から $x_{0}$ だけ縮めたときの弾性エネルギーを答えよ。
（２）手を話してばねが自然長から $x$ の位置で速度が $v$ になったとする。そのときの系全体のエネルギーを求めよ。
（３）球と板が離れた時の自然長からの位置を答えよ。
（４）そのときの速度 $v_{0}$ を求めよ。

ポイントとなるのは「球と板が離れるというのは物理的にどういう状態であるか」という事です。そこに注意すれば全く問題ありません。

解答

（１）弾性力による位置エネルギーの公式から

$U = \displaystyle\frac{1}{2}kx_0^2$

（２）板と球の運動エネルギーも考慮すると

$E = \displaystyle\frac{1}{2}kx^2+\frac{1}{2}(m+M)v^2$
f:id:yoshi12030:20180623171658p:plain

（３）板と球に働く力のベクトルを作図します。
f:id:yoshi12030:20180623172948p:plain
作図のポイントは
①力の始点を明確にする
②バネによる弾性力 $kx$ が働くのは板のみ
③板と球はお互いに垂直抗力 $N$ を及ぼし合う（作用反作用の法則）
です。
作図が出来たら次に2つの物体に関する運動方程式を立てます。

板： $\displaystyle m\frac{dv}{dt}=kx-N$

球： $\displaystyle M\frac{dv}{dt}=N$

ここから加速度である $\displaystyle\frac{dv}{dt}$ を削除して整理すると

$\displaystyle \left(\frac{m}{M}+1\right)N=kx$

球と板がはなれるとき $N=0$ となるから

$x=0$

すなわち、バネが自然長のときに球と板は離れます。

（４）エネルギー保存則より

$\displaystyle\frac{1}{2}kx_0^2 = \frac{1}{2}(m+M)v_0^2$

ゆえに

$\displaystyle v_0=x_0\sqrt{\frac{k}{m+M}}$