【過去問解答】H31信州大学編入試験問題数学大問3

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問題

大問３は連立一次方程式に関する問題です．

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解答

解答の方針

連立一次方程式に関するとても基本的な問題です．ここで，行列の階数と連立一次方程式の解の分類について復習しておきます．

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\ \vdots&\ddots&\vdots\\\ a_{m1}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}, \hspace{10pt} \boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, \hspace{10pt} \boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}b_1\\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}$

とする．連立一次方程式 $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ の拡大係数行列を $A_+=(A\,|\, \boldsymbol{b})$ とするとき，次のことが成り立つ．

$\text{rank}A=\text{rank}A_+=n \Longleftrightarrow A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ がただ一つの解をもつ
$\text{rank}A=\text{rank}A_+\lt n \Longleftrightarrow A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ が無数の解をもつ
$\text{rank}A\lt \text{rank}A_+ \Longleftrightarrow A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ が解をもたない

このことが理解できればあとは簡単です．

解答と解説

与えられた連立一次方程式の係数行列を $A$ とし，拡大係数行列を $A_+$ とします．まず，拡大係数行列が階段行列になるまで行基本変形します．

$\begin{eqnarray} A_+ &=& \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & k^2 & k \end{array}\right) \\ \\ & \to & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & k^2-1 & k+1\end{array} \right) \end{eqnarray}$

（１）

連立一次方程式が解をもたないとき $\text{rank}A \lt \text{rank}A_+$ となり，これを満たすのは $k=1$ のみなので，答えは $k=1$ となります．

（２）

連立一次方程式が無数の解をもつとき $\text{rank}A = \text{rank}A_+ \lt 3$ となり，これを満たすのは $k=-1$ のみなので，答えは $k=-1$ となります．

（３）

連立一次方程式がただ１つの解をもつとき $\text{rank}A = \text{rank}A_+ = 3$ となり*1これを満たす条件は $k^2 -1 \neq 0$ になります．このとき，

$\begin{eqnarray} A_+ & \to & \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & \dfrac{1}{k-1} \end{array}\right) \\ \\ & \to & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & \dfrac{1}{1-k} \\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & \dfrac{1}{k-1}\end{array} \right) \end{eqnarray}$