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【過去問解答】H31信州大学編入試験問題 数学 大問2

信州大過去問 数学

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問題

大問２は２重積分に関する問題です．
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解答

解答の方針

この問題は小問（１）で普通の不定積分を求めさせてから，小問（２）でそれを利用して二重積分を解くという問題です．このような出題の仕方は信州大だとよくされます．この問題自体は難しくはないので，計算ミスをしないように解くことが大切になります．

解答と解説

（１）

暗算でも解けますが，慎重に置換積分しておきます．まず t=x^2 と置くと， dt=2xdx より，\displaystyle xdx=\frac{1}{2} dt になるから，

\displaystyle \begin{eqnarray} \int x^3 e^{x^2}dx &=& \int x^2 e^{x^2}xdx \\ \\ &=& \int te^t \frac{1}{2}dt \\ \\ &=& \frac{1}{2} \left( te^t - \int e^t dt \right) \\ \\ &=& \frac{1}{2} \left(te^t - e^t \right) + C \\ \\ &=& \frac{1}{2} \left(x^2e^{x^2} - e^{x^2} \right) + C \end{eqnarray}

となります．


（２）

まず，以下のように変数変換をします．

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} u = x + y \\ v = x - 2y \end{array} \right. \end{eqnarray}

この式を，x と y について解くと，

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle x = \frac{2}{3}u + \frac{1}{3}v \\ \displaystyle y = \frac{1}{3}u-\frac{1}{3}v \end{array} \right. \end{eqnarray}

となるから，この変数変換によるヤコビアン J は，

\displaystyle J=\begin{vmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} \\ \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} \\ \dfrac{1}{3} & -\dfrac{1}{3} \end{vmatrix}=-\dfrac{1}{3}

となり，計算に使うヤコビアンの絶対値は |J|=\dfrac{1}{3} になります．

また，先程の変数変換によって領域 D は下式で表される D' に移ります．

D'=\{(u, \,v) \, | \, 0 \leq u \leq v \leq 1\}

領域の条件部にある 0\leq u \leq v \leq 1 は， 0 \leq u \leq 1 と， 0 \leq v \leq 1 と， u \leq v という３つの条件式に分けることが出来るので，これを見ながら領域を作図すると，

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となるので，これを見ながら領域 D' を逐次積分しやすい形に変形すると，

D'=\{(u, \,v) \, | \, 0 \leq u \leq v, \, 0 \leq v \leq 1\}

となり，ようやく準備が整いました．これで後は積分計算をするだけですが，途中で小問（１）の結果を使うことに注意して下さい．

\begin{eqnarray} \iint_D (x+y)^2e^{(x-2y)^2} \, dxdy &=& \iint_{D'} u^2 e^{v^2} \frac{1}{3} \, dudv \\ \\
&=& \frac{1}{3}\int_0^1 e^{v^2} \, \int_0^v u^2 \, du dv \\ \\
&=& \frac{1}{3} \int_0^1 v^3 e^{v^2} \, dv \\ \\
&=& \frac{1}{18}\left[ v^2e^{v^2} - e^{v^2} \right]_0^1 \\ \\
&=& \frac{1}{18}(e-e+1) \\ \\
&=& \frac{1}{18}
\end{eqnarray}