【線形代数】線形写像の表現行列について

今回から「編入TIPS」というカテゴリで僕が実際に編入の勉強で躓いたことや知ってて得したことなどを書き溜めて行こうと思います。大半は備忘録のつもりで書きます。

線形写像の表現行列

表現行列は基底とセット

線形写像の表現行列と聞いて大抵の人は単に「移り先を表した方程式を行列とベクトルの形に直したときに出てくる行列」だけだと思っているかも知れません。ですがそれは「標準基底に関する表現行列」であって、一般的に線形写像の表現行列は線形写像とベクトル空間の基底に対して定義されるため、考える基底によって表現行列の形は変わります。今回は一般的な基底に関する線形写像の表現行列の定義とそこから導かれる定理を証明します。

一般的な基底に関する表現行列の定義について

定義

$f$ ： $V$ → $W$ を線形写像とし、 $V, W$ の基底を $\{ \boldsymbol{a_1},\cdots, \boldsymbol{a_n} \},\{ \boldsymbol{b_1}, \cdots, \boldsymbol{b_m} \}$ とする。このとき

$\left( \ f(\boldsymbol{a_1}) \ \cdots \ f(\boldsymbol{a_n}) \right)=\left(\boldsymbol{b_1} \ \cdots \ \boldsymbol{b_m} \right)A$

を満たすm行n列の行列 $A$ を与えられた基底に関する $f$ の表現行列という。

表現行列の導出

$V$ の各基底の $f$ による像は $W$ に属するので、 $W$ の基底の線形結合で表すことができます。すなわち、

$f(\boldsymbol{a_1})=a_{11}\boldsymbol{b_1}+\cdots+a_{m1}\boldsymbol{b_m}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{b_1}&\cdots&\boldsymbol{b_m}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11}\\\ \vdots \\\ a_{m1}\end{pmatrix}$
$\vdots$
$f(\boldsymbol{a_n})=a_{1n}\boldsymbol{b_1}+\cdots+a_{mn}\boldsymbol{b_m}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{b_1}&\cdots&\boldsymbol{b_m}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{1n}\\\ \vdots \\\ a_{mn}\end{pmatrix}$

というように全部で $n$ 個の式が立てられます。これらをまとめると

$\begin{pmatrix}f(\boldsymbol{a_1})&\cdots&f(\boldsymbol{a_n})\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{b_1}&\cdots&\boldsymbol{b_m}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\ \vdots&\ddots&\vdots\\\ a_{m1}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}$

と表され

$A=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\ \vdots&\ddots&\vdots\\\ a_{m1}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}$

とおけば、定義を得ることが出来ます。

表現行列の成分に関する定理

定理

$f$ を $V$ から $W$ への線形写像とし、 $V, W$ の基底を $\{ \boldsymbol{a_1},\cdots, \boldsymbol{a_n} \},\{ \boldsymbol{b_1}, \cdots, \boldsymbol{b_m} \}$ とする。このとき、任意の $\boldsymbol{x}\in V$ に対して $\boldsymbol{y}=f(\boldsymbol{x})$ とし

$\boldsymbol{x}=x_1\boldsymbol{a_1}+\cdots+x_{n}\boldsymbol{a_n}$
$\boldsymbol{y}=y_1\boldsymbol{b_1}+\cdots+y_{m}\boldsymbol{b_m}$

と書けるとする*1。このとき、 $A$ を与えられた基底に関する $f$ の表現行列とするとき次が成り立つ。

$\begin{pmatrix}y_1\\\ \vdots \\\ y_m\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x_1\\\ \vdots\\\ x_n\end{pmatrix}$

証明

任意の $\boldsymbol{x} \in V$ を

$\boldsymbol{x}=x_1\boldsymbol{a_1}+\cdots+x_{n}\boldsymbol{a_n}$

とすると

$\begin{align}f(\boldsymbol{x}) &= f(x_1\boldsymbol{a_1}+\cdots+x_{n}\boldsymbol{a_n}) \\ \\&=x_1 \ f(\boldsymbol{a_1})+\cdots+x_n \ f(\boldsymbol{a_n})\\&=\begin{pmatrix}f(\boldsymbol{a_1})&\cdots&f(\boldsymbol{a_n})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\\ \vdots\\\ x_n\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}\boldsymbol{b_1}&\cdots&\boldsymbol{b_m}\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}x_1\\\ \vdots \\\ x_n\end{pmatrix} \tag{1}\end{align}$

と変形できる*2。一方

$f(\boldsymbol{x})=y_1\boldsymbol{b_1}+\cdots+y_{m}\boldsymbol{b_m} \in W$

とすると
$\begin{align}f(\boldsymbol{x})=\begin{pmatrix}\boldsymbol{b_1}&\cdots&\boldsymbol{b_m}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_1 \\\ \vdots \\\ y_m\end{pmatrix} \tag{2} \end{align}$

となる。(1)と(2)を比較すれば

$\begin{pmatrix}y_1\\\ \vdots \\\ y_m\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x_1\\\ \vdots\\\ x_n\end{pmatrix}$

定理の意味

上で証明した定理は表現行列 $A$ で $V$ の基底 $\{ \boldsymbol{a_1}, \cdots , \boldsymbol{a_n} \}$ に関する成分から $W$ の基底 $\{ \boldsymbol{b_1}, \cdots , \boldsymbol{b_m} \}$ に関する成分へ移せるということを表します。（このことを実感する為に次節の問題を考えよう）
また、 $V, W$ の基底を $\{ \boldsymbol{e_1}, \cdots , \boldsymbol{e_n} \}, \{ \boldsymbol{e_1}, \cdots , \boldsymbol{e_m} \}$ にすれば見慣れた表現行列（これを標準基底に関する表現行列という）になる。

練習問題

これまで説明した内容の理解を助けるような問題を用意しました。

2次以下の $x$ の多項式全体を張るベクトル空間を $V$ とし、1次以下の $x$ の多項式全体を張るベクトル空間を $W$ とする。このとき線形写像 $f:V→W$ を次式で定める。

$\displaystyle f(p(x))=\frac{dp(x)}{dx}$

このとき、以下の問題を答えよ。
（１） $V$ の基底を $\{1, x, x^2\}$ とし、 $W$ の基底を $\{1, x\}$ とするとき、これらの基底に関する $f$ の表現行列 $A$ を求めよ。
（２） $p(x)=3x^2+x+5$ を微分せよ。

解答と解説

（１） $V$ の各基底の $f$ による像を求める。

$f(1)=0=\begin{pmatrix}1&x\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}$
$f(x)=1=\begin{pmatrix}1&x\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}$
$f(x^2)=2x=\begin{pmatrix}1&x\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\\ 2\end{pmatrix}$